一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）B （4）B
（5）C （6）D （7）D （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）20 （11）11，
（12） ， （13）
（14） ，
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）解：（I）由 ，得 ……2分
……6分
（II） ……10分
……13分
（16）解：
（I）设取出的两个中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，则取出的两个中至少有一个红球的概率为
……6分
（II）由已知得 ，又
，……10分
，即 。 ……13分
（17）方法1：
（I）证明：依条件可知DA⊥AB ①
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线
∴平面ACD⊥平面BCD ……4分
（II）解：由（I）结论知平面ADC⊥平面BCD。
依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD
∵DC 平面ACD，∴BC⊥DA ②
∵AB BC＝B，∴由①、②得DA⊥平面ABC
设求点C到平面ABD的距离为d，
于是 。
∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D—ABC的高。
∴由 ，得 。解得 。
即点C到平面ABD的距离为 。……8分
（III）解：由（II）中结论可知DA⊥平面ABC，
又∵DA 平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC
过E作EF⊥AB，垂足为F，∴EF⊥平面ABC。
过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，
∴EG⊥AC
∴∠EGF是所求二面角的平面角。 ……10分
∵DA⊥AB，EF⊥AB，
又点E、F分别是所在边的中点，
∴
同理
∵在△AEC中，
∴
在△EFG中容易求出∠EGF＝45°。
即二面角B－AC－E的大小是45° ……13分
方法2：
（I）证明：
如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系。
所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0， ，0）
∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，∴点A的坐标为 。
∵ 是平面BCD的一个法向量。
而 是平面ADC的一个法向量。
∵
∴平面ACD⊥平面BCD。 ……4分
（II）解：设点C到平面ABD的距离为d
容易求出平面ABD的一个法向量为
∴
即点C到平面ABD的距离为 ……8分
（III）解：∵ ，
∴容易求出平面ABC的一个法向量为
又
∴容易求出平面AEC的一个法向量为 。
∵ ，
。……12分
∴二面角B－AC－E的大小是45°。 ……13分
（18）解：（I）∵ ，
∴ ……2分
∵在 时， 取极小值
∴ ……6分
∴ ……7分
（II）证明：∵ ，令 得
∵ 时， ；
时， 9分
∴ [－1，1]上是减函数，且
∴在[－1，1]上 ，
故 ……13分
（19）解：（1）由已知得 ①
故 ②
②－①得
结合 ，得
是等差数列 ……4分
又 时， ，解得 或
。又 ，故 ，
……7分
（II）
即得点
设 ，消去n，得
即直线C的方程为 ……11分
又 是n的减函数
∴M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）。又M3的坐标为（ ， ）
∴C与x轴、直线 围成的图形为直角梯形，从而直线C在[ ，1]上的面积为 ……14分
（20）解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在椭圆上
所以
两式相减，得：
……4分
（II）因为直线AB与OM的夹角为α，tanα＝2
由（I）知
①
又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是
②
在椭圆中， ③
联立①②③，解得：
所以，椭圆的方程为 ……9分
（III）设AB直线的方程为
由 消元得
∵A、B两点分别位于第一、三象限，
∴
当 时，
解得： ……13分
所以椭圆短轴长的取值范围为（0，1） ……14分
注：2个空的填空题，做对其中任一个给3分。如有其它解法请阅卷老师酌情给分。
